埼玉的世界旅行 實數Z

-

證明。

我們將使用幾乎不相交的編碼，通過五步強製來產生實z。

對於這種強迫的介紹，參見例如3的調查或38，其中給出了類似的論點。

我們在地麵模型上進行強製

Lp²ⁿ⁻¹x，Kᴹˣ│γ⁺ᴹˣ

Lp²ⁿ⁻¹x，Kᴹˣ│γ⁺ᴹˣ是Mₓ的一個可定義集，因為根據表述2中的性質4我們得到

M₂ₙ₋₁x，Kᴹˣ│γ⁺ᴹˣ∈Mₓ

根據引理323，對M₂ₙ₋₁x，Kᴹˣ│γ⁺ᴹˣ及其圖像的最小測度進行ωⱽ₁次迭代，並在ωⱽ₁處截斷，得到下半模型Lp²ⁿ⁻¹x，Kᴹˣ│γ⁺ᴹˣ

這意味著，特彆是cf（γ）ᴸᴾ²ⁿ⁻¹⁽ˣ，ᴷᴹˣ│γ⁺ᴹˣ⁾≥ω₁ᴹˣ

唱。

步驟1：為地麵模型寫入V₀＝Lp²ⁿ⁻¹（x，Kᴹˣ│γ⁺ᴹˣ）我們從一個預備強迫開始，它將ω₁ᴹˣ以下的一切坍縮為ω，之後我們將γ坍縮為ω₁ᴹˣ。

所以設G₀∈

V為Colω，＜ω₁ᴹˣ一般除以

V₀，設V₀＝V₀G₀

此外，設G₀∈

V為Colω₁ᴹˣ，γ泛型V₀，設V₁＝V₀G₀

所以我們有ω₁ᴹˣ＝ω₁ⱽ¹通過我們選擇的γ，也就是cfγⱽ⁰≥ω₁ᴹˣ，我們還有γ⁺ᴹˣ＝γ⁺ᴷᴹˣ

＝ω₂ⱽ¹

我們寫ω₁＝ω₁ⱽ¹ω₂＝ω₂ⱽ¹

進一步，設A是編碼G₀和G₀，的序數集合，這樣，如果我們令A⊂γ⁺ᴹˣ

x⨁（Kᴹˣ│γ⁺ᴹˣ⨁A，

然後我們有G₀，G₀∈

Lp²ⁿ⁻¹A和Kᴹˣ│γ⁺ᴹˣ∈

Lp²ⁿ⁻¹A

事實上，我們可以選擇集合A使V₁＝Lp²ⁿ⁻¹A通過下麵的論證：回想一下

Lp²ⁿ⁻¹A＝MA│ω₁ⱽ，

其中，MA表示Iω₁ⱽ，式中M₂ₙ₋₁A對集合A的最小測度及其像的迭代。

然後我們可以認為G₀在模型Mx，Kᴹˣ│γ⁺ᴹˣ上是泛型的，而G₀在模型Mx，Kᴹˣ│γ⁺ᴹˣG₀，上是泛型的，其中Mx，Kᴹˣ│γ⁺ᴹˣ表示ω₁ⱽ

M₂ₙ₋₁x，Kᴹˣ│γ⁺ᴹˣ的最小測度及其像的迭代。

由於步驟1中的兩種強迫都發生在（γ⁺）ᴹˣ＜ω₁ⱽ以下，

因此證明中有定理225Mx，Kᴹˣ│γ⁺ᴹˣG₀G₀＝MA對於集合A⊂γ⁺ᴹˣ

編碼x，Kᴹˣ│γ⁺ᴹˣ，G₀和G₀，因此我們得到V₁＝MA│ω₁ⱽ對於這個集合A，如所期望的那樣。

步驟2：在我們可以使用ω₁＝ω₁ⱽ¹，的幾乎不相交的子集執行第一次編碼之前，我們必須“重塑”γ⁺ᴹˣ＝ω₂ⱽ¹和ω₁之間的間隔，以確保我們將在步驟3中執行的編碼存在。

此外，我們必須確保重塑強迫“本身不會使ω₁和γ⁺ᴹˣ崩潰。

我們將通過證明重塑強迫是＜γ⁺ᴹˣ分佈來證明這一點。

我們將使用以下重塑的概念。

定義328。

設n為基數，設X⊂η⁺，我們設函數f為X，η⁺對某些f：α→

2以及對所有α≤η⁺且ξ≤α的函數ξ＜η⁺進行重塑，我們有

iLx∩ξ，f⨡ξ⊨ξ≤η，or

ii有一個模型N和一個Σₖelementary嵌入

j：N→Lp²ⁿ⁻¹X│η⁺⁺對於足夠大的k＜ω，使得

a

critj＝ξ，jξ＝η⁺，

bρₖ₊₁N≤ξ，N為大於ξ的聲音，並且

c明確地在N上存在一個拋射g：η→ξ

為了將來的目的，請注意，如果N如上麵第

ii款所示，則N◅

Lp²ⁿ⁻¹X∩ξ

現在我們用P₁表示為A，γ⁺ᴹˣ新增γ⁺ᴹˣ＝ω₂ⱽ¹，重塑函數的力，在我們的新地麵模型V₁＝Lp²ⁿ⁻¹A中定義。

我們設p∈P₁，如果p是一個A，γ⁺ᴹˣ整形函數，且domp＜γ⁺ᴹˣ，我們在P₁中通過反向包含對兩個條件p和q排序，這意味著我們設p≤p₁

q

iff

q⊆

p

首先注意到強製P₁是可擴展的，這意味著對於每一個序數α＜γ⁺ᴹˣ，集合Dα＝p∈

P₁│

domp≥α在P₁中是開放和密集的。

事實上，對於每一個p∈P₁和每一個α＜γ⁺ᴹˣ，存在一些q≤ᴘ₁，p使得domq≥α和LA∩ξ，q⨡ξ⊨ξ≤η對於所有的ξ，domp

＜ξ≤

domq

現在我們要證明P₁是＜γ⁺ᴹˣdistributive。

為此，我們固定了一個條件p∈

P₁和開密集集

Dᵦ│β＜ω₁）

我們的目標是找到一個條件q≤ᴘ₁，p使得q∈Dᵦ對所有β＜ω₁

考慮，對於一個足夠大的固定自然數k，模型Lp²ⁿ⁻¹A＝V₁的可傳遞Σₖ初等子結構更準確地說，我們想要選擇一個連續序列

Nα，πα，ξα│α≤ω₁

傳遞模型的大小為ω₁ⱽ¹的Nα以及Σₖelementary初等嵌入

πα：Nα→

Lp²ⁿ⁻¹A

以及一個序數ξα的遞增序列，使得我們有p∈

N₀，並且對於所有α≤ω₁

1critπα＝ξα

withπαξα＝γ⁺ᴹˣ，

2對於所有序數α＜ω₁，我們有ρₖ₊₁Nα≤ξα且Nα在ξα之上，和

3p∪Dᵦ│β＜ω₁⊂

ranπα

對於所有α≤ω₁，

Nα

sw，我們可以歸納出如下性質的Nα和πα。

設M₀為的未坍縮Σₖhull屬於

γ∪p∪Dᵦ│β＜ω₁

在Lp²ⁿ⁻¹A內

然後讓N₀成為M₀的Mostowski崩潰，讓

π₀：N₀→

M₀≺Σₖ，Lp²ⁿ⁻¹A

為臨界點為ξ₀的Mostowski坍縮的逆嵌入。

現在假設我們已經為一些α＜ω₁構造了

Nα，πα，ξα和Mα。

然後設Mα₊₁為（未坍塌的）Σₖhull屬於

γ∪p∪Dᵦ│β＜ω₁∪Mα∪Mα

在Lp²ⁿ⁻¹A內進一步設Nα₊₁為Mα₊₁的Mostowski塌縮，允許

πα₊₁：Nα₊₁→

Mα₊₁≺Σₖ

Lp²ⁿ⁻¹A是由臨界點為ξα₊₁的Mostowski坍縮得到的嵌入的逆。

注意我們有ξα₊₁＞ξα

此外，如果我們假設Nα，πα，ξα已經為所有的α＜λλ≤ω₁，構造了，那麼我們讓

Mλ＝∪Mα，

α＜λ

設Nλ為Mλ的Mostowski坍縮，並具有逆坍縮嵌入的

πλ：Nλ→

Mλ，

臨界點臨界πλ＝ξλ

回想一下，我們固定了開密集集Dᵦ│β＜ω₁我們現在要構造一個條件序列Pα│α≤ω₁使得所有α＜ω₁的Pα₊₁≤P₁

Pα和Pα₊₁∈Dα

而且，我們要構造這些條件使我們歸納地保持pα∈πα⁻¹P₁⊂

Nα

我們從p₀＝p∈N₀開始

對於後續步驟，假設我們已經定義了pα∈πα⁻¹P₁⊂

Nα對於某個α＜ω₁。

然後我們有dompα＜ξα

ξα│α＜λ的臨界點序列πα│α＜λ在Nλ上是可denable的，因為對於α＜λ，模型Nα等於Nλ的Σₖelementary子模型的可傳遞坍縮，該子模型在Nλ內部構造與在上麵的Lp²ⁿ⁻¹A內部構造完全相同。

因此，我們有這個cfᴺλξλ≤λ≤ω₁＝ω₁ⱽ¹這意味著Nλ⊨ξλ≤ω₁ⱽ¹由於dompλ＝ξλ，這讓我們知道pλ實際上是強製P₁的一個條件。現在考慮函數q＝pω₁

然後q∈P₁和q∈Dᵦ對於所有β＜ω₁

我們已經證明瞭重塑力P₁是＜γ⁺ᴹˣ分佈的，因此不會坍塌ω₁和γ⁺ᴹˣ＝ω₂

設G₁為一般的p₁

V₁設V₂＝V₁G₁

強迫P₁的可拓性使得∪G₁是一個具有γ⁺ᴹˣ定義域的A，γ⁺ᴹˣ整形函數。

設B是編碼函數UG₁的γ⁺ᴹˣ的子集，例如，以UG₁為特征函數的γ⁺ᴹˣ的子集。

最後，設B⊂γ⁺ᴹˣ為A⨁

B的編碼。

在第1步結束時，我們可以選擇代碼B⊂γ⁺ᴹˣ，使模型V₂的形式為Lp²ⁿ⁻¹B，通過以下參數

Lp²ⁿ⁻¹B＝MB│ω₁ⱽ，

其中，MB表示M₂ₙ₋₁B的最小測度及其圖像的ω₁ⱽ次迭代。

因此，我們可以認為G₁是MA上的泛型。這產生了在第1步結束時的論證，我們可以選擇B，使V₂＝MB│ω₁ⱽ，因為“重塑強迫”P₁發生在γ⁺ᴹˣ＜ω₁ⱽ以下

因此，我們得到了它

V₂＝Lp²ⁿ⁻¹B

步驟3：現在我們可以使用ω₁＝ω₁ⱽ²＝ω₁ⱽ¹的幾乎不相交的子集來執行第一個編碼。

由於B是“重塑的”，我們可以歸納地構造一個ω₁的幾乎不相交子集序列，

（Aξ│ξ＜γ⁺ᴹˣ，

如下。

設ξ＜γ⁺ᴹˣ使得我們已經構造了一個ω₁的幾乎不相交子集的序列Aς│ς＜ξ

案例1。LB∩ξ⊨ξ≤ω₁ⱽ²

那麼我們讓Aξ是ω₁的最小子集₁在LB∩ξ中，它也與任何Aς最不相交對於ς＜ξ並且滿足

ω₁∪Aξ＝ℵ₁

ς≤ξ

情況2，否則。

設N是Lp²ⁿ⁻¹A∩ξLp²ⁿ⁻¹B的最小初始段，使得ρωN≤ξ，N是健全的，ξ，ξ是N中最大的基數，並且在N上可定義存在滿射g：ω₁ⱽ²↠ξ，現在設Aξ是ω₁ⱽ²的最小子集，它在N上可定義，對於ς＜ξ幾乎與任何Aς不相交，並且滿足

ω₁∪ς≤ξ

Aς＝ℵ₁

在這種情況下，集合Aξ是定義良好的，這是由於集合B⊂γ⁺ᴹˣ被下麵的自變量“重塑”。由於B被“重塑”，因此在上述的情況2中，即存在定義328ii中的模型N。我們有N◅

Lp²ⁿ⁻¹A∩ξ一般來說，不一定是這樣Lp²ⁿ⁻¹A∩ξLp²ⁿ⁻¹B等於Lp²ⁿ⁻¹A∩ξ見引理325，但由於ξ是N中最大的基數，因此實際上N◅

Lp²ⁿ⁻¹A∩ξLp²ⁿ⁻¹B因此，在ξ處見證B“重塑”的任何N都是Lp²ⁿ⁻¹A∩ξLp²ⁿ⁻¹B使得集合Aξ確實是定義明確的。

序列Aξ│ξ＜γ⁺ᴹˣ現在可在V₂＝Lp²ⁿ⁻¹B中定義

現在設P₂是由幾乎不相交集Aξ│ξ＜γ⁺ᴹˣ的ω₁的子集對編碼B的強迫，這意味著p∈

P₂是一個對pι，pᵣ，使得對於某些α＜ω₁，pι：α→

2，並且pᵣ是γ⁺ᴹˣ的可數子集

我們說

p＝pι，Pᵣ使得pι：α→

2對於某些α＜ω₁和pᵣ是（γ⁺ᴹˣ我們說p＝（pι，pᵣ≤P₂（qι，qᵣ＝q

iff

qι⊆

pι，qᵣ⊆

pᵣ，並且對於所有ξ∈qᵣ，我們有，如果ξ∈B，那麼

β∈

dompιdomqι│pιβ＝1∩Aξ＝∅

一個簡單的論點表明γ⁺ᴹˣcc對於強迫P₂成立更重要的是，它是ω閉的，因此冇有基數塌陷。設G₂是P₂V和let上的泛型

C＝∪β∈

dompι│pιβ＝1

p∈G₂

那麼C⊂ω₁對於所有ξ＜γ⁺ᴹˣ，

ξ∈B

iffC∩Aξ≤ℵ₀

最後，設V₃＝V₂G₂通過與我們在第2步結束時給出的論點相同的論點，我們可以得出

V₃＝Lp²ⁿ⁻¹C

對於某些集合C⊂ω₁編碼C′和實數x，由於模型Lp²ⁿ⁻¹C可以通過以下參數成功地完全解碼集合B⊂γ⁺ᴹˣ我們歸納地證明瞭對於每一ξ＜γ⁺ᴹˣ，Aς│ς＜ξ∈

LP²ⁿ⁻¹C和B∩ξ∈

LP²ⁿ⁻¹C得到B∈

Lp²ⁿ⁻¹C

對於歸納步驟，設ξ＜γ⁺ᴹˣ為序數，並假設歸納得到

Aς│ς＜ξ∈

Lp²ⁿ⁻¹C

因為對於所有ς＜ξ，

ς∈B

iffC∩Aξ≤ℵ₀，

我們有B∩ξ∈

Lp²ⁿ⁻¹C

在情況1中，即，如果L

B∩ξ⊨ξ≤ω₁ⱽ²，則可以容易地在LP²ⁿ⁻¹C內識彆集合Aξ。在情況2中，設N是Lp²ⁿ⁻¹A∩ξLp²ⁿ⁻¹C的最小初始段，使得ρωN≤ξ，N是ξ上的聲音，ξ是N中最大的基數，並且在N上可定義存在滿射，g：ω₁↠ξ這樣一個N的存在是由於B被“重塑”的事實：甚至存在一些N◅

Lp²ⁿ⁻¹A∩ξ，使得ρωN≤ξ，

N是ξ上的聲音，ξ是N中最大的基數，並且在N上可定義存在滿射

g：ω₁↠ξ；和Lp²ⁿ⁻¹A∩ξLp²ⁿ⁻¹C⊆

Lp²ⁿ⁻¹A∩ξ因此，存在具有這些性質的Lp²ⁿ⁻¹A∩ξLp²ⁿ⁻¹C的最小初始段N，並且它也將是Lp²ⁿ⁻¹A∩ξ的初始段，並且N也將是用於識彆Lp²ⁿ⁻¹A∩ξ的Lp²ⁿ⁻¹B對於上述B的初始段。用於鑒定Aξ我們已經證明，在每種情況下，Aξ都可以在內部識彆，Lp²ⁿ⁻¹C

由於下一個Aξ的識彆是按照統一的程式進行的，我們實際上得到了這一點

Aς│ς≤ξ∈

Lp²ⁿ⁻¹C

步驟4：在我們可以“code

down

to

a

real”之前，這意味著我們可以找到一個實數z，使得Kᴹˣ│γ⁺ᴹˣ∈

Lp²ⁿ⁻¹z，我們必須執行另一個類似於步驟2的“整形”。所以讓P₃是加一個（C，ω₁在V₃中工作的整形函數作為新的地麵模型，其中ω₁ω₁ⱽ³ω₁ⱽ²這意味著我們設p∈P₃當p是C，ω₁domp＜ω₁的整形函數

P₃中兩個條件p和q的階再次通過反向包含，意味著p≤ᴘ₃

q

iff

q⊆

p

強製P₃是可擴展的，並且＜ω₁是由與我們在步驟2中給出的參數相同的參數分配的，因為我們有V₃＝Lp²ⁿ⁻¹C因此，P₃不塌陷ω₁

設G₃是P₃V₃上的泛型並設V₄＝

V₃G₃我們又得到了一個∪G₃是C，ω₁具有域ω₁的整形函數因為P₃是可擴展的。設D是ω₁的子集哪一個編碼∪G₃，例如ω₁的子集哪一個bos∪G₃作為其特征功能。最後，iet

D⊂ω₁代碼C⨁D

通過與我們在步驟2結束時給出的相同的論證，我們實際上可以得到

V₄＝Lp²ⁿ⁻¹D

步驟5：現在我們準備好最後“編碼到實數”。由於D是“重新成形的”，我們可以考慮一個統一定義的序列

Bξ│ξ＜ω₁

ω的幾乎不相交的子集，如步驟3，其中ω₁＝ω₁ⱽ⁴＝ω₁ⱽ³

現在我們讓P₄是ω的子集使用幾乎不相交集對D進行編碼的強製（Bξ│ξ＜ω₁這意味著一個條件p∈p₄是一對（pι，pᵣ使得pι：α→

2對於某些α＜ω和pᵣ是ω₁的有限子集我們說p＝（pι，pᵣ≤P₄（qι，qᵣ＝

q

iff

qι⊆pι，qᵣ⊆

pᵣ，並且對於所有ξ∈qᵣ，我們有，如果ξ∈D，那麼

β∈

dompιdomqι│pιβ＝1∩Bξ＝∅正如在上麵的步驟3中一樣，一個簡單的論點表明，強迫P₄擁有ccc，因此冇有樞機主教崩潰。最後，設G₄是P₄V₄上的泛型然後讓

E＝∪β∈

dompι│pιβ＝1

p∈G₄

那麼E⊂ω，我們對所有ξ＜ω₁都有，

ξ∈D

iff│E∩Bξ│＜ℵ₀

設V₅＝V₄G₄最後，設z是實數編碼E’和實數x類似於步驟3末尾給出的自變量，我們可以選擇實數z≥ᴛ

x這樣我們就有

V₅＝Lp²ⁿ⁻¹z

和型號Lp²ⁿ⁻¹z能夠成功地解碼集合D，從而也解碼集合A

這最終得出我們有一個實

z≥ᴛ

x使得

γ⁺ᴹˣ＝ω₂ᴸᴾ²ⁿ⁻¹⁽ᶻ⁾

和

Kᴹˣ│γ⁺ᴹˣ∈

Lp²ⁿ⁻¹z

-