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V-Logic的Tableaux係統
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在本文中，我介紹了一個用於無窮邏輯的表係統，例如所謂的V邏輯（Arrigoni和Friedman，2013）。
這個邏輯允許公式長度小於κ，其中κ是一個大基數，但隻有有限個前麵的量詞。
雖然它已經有了一個證明係統，一個新的表格係統應該有助於闡明這種邏輯是如何工作的。
這個新的tableaux係統可以適應所有可能的“V邏輯”，隻要數量公式中允許的量詞的數量是有限的。
這是因為規則是與公式的長度無關，一旦允許使用不定式。
除了使用tableaux係統的已知優勢之外，這樣的變化應該使我們能夠更好地研究這類的完整性問題並最終幫助我們發展基於他們無窮邏輯主要是由Barwise（1975）在70年代發展起來的和Keisler（1971）。
特彆是V邏輯，最早出現在Barwise（1969）作為M邏輯，是一種不定式語言是一種有一定證明的不定式語言使其在調查問題時特彆有用的理論機器在集合論中。
因此，弗裡德曼選擇發展所謂的超宇宙——一種基於V邏輯的集合論的多元宇宙（Arrigoni和Friedman，2013）。
設κ是一個不可訪問的基數。
定義了不定式語言Lκ，ω來自通常的一階語言，但帶有不定式連詞（VΦ，其中Φ是一組公式）和長度小於κ的析取（WΦ）。
然而，前麵允許有限數量（即小於ω）的量詞的公式。
從這種語言中，我們可以定義V邏輯本體，通過定義一種語言LV，新增以下（i）一個新的一元關係符號五、，表示地麵宇宙和（ii）κ新常數w0，wκ、對於宇宙的延伸。
由於κ的選擇不會顯著影響語言，因此框架允許引入非常強的無窮大邏輯Lκ，ω，其中k是例如。
一個Mahlo，甚至是一個可衡量的大基數。唯一相關的區彆是雖然一些這樣的邏輯是完整的，但其他的則不是（有關詳細資訊，請參閱Dickman（1975））。
此外，如果我們解釋新的常數五、在集合論的術語中，即。
作為一個強迫擴展的基本宇宙，那麼這個大基數也定義了宇宙有多“高”。
為了建立V邏輯的模型，我們首先需要定義一些關鍵的性質即其一致性屬性。
一致性屬性是具有某些性質的可數句子集的集合S。
這個定義最初由Keisler（1971）提出，後來由Barwise（1975）修訂，以及需要證明模型存在定理。
例如，最簡單的V邏輯的可能一致性性質是所有可數集的集合LV的句子的s，使得s有一個模型a，其域都是新的在語言中新增的常量。
遵循Barwise，對於這些屬性，我們也新增一些關於等式的規則（因為我們的目標是將V邏輯應用於集合論）。
我現在介紹一個Vlogic的tableaux係統，如下所示。
一個tableaux係統這將是這種邏輯最好的證明係統，因為它會完美地表達了語法和語義之間的聯絡。
首先該係統的定義非常簡單：遵循Barwise的發展在V邏輯中，我們改變了樹成員屬性中的一致性屬性。
例如，在不進行過多詳細說明的情況下，考慮一致性屬性中的第一個，平凡性規則。
這個規則說明0∈S，並且如果s⊆s′∈s，則對於每個Γ∈s′，s∈Γ∈s，其中S是S的集合，每個S∈S是V邏輯的一組句子。
簡單地將其轉換為樹定義對於tableaux係統，我們定義S為證明樹，每個S為其分支。
其他一切都遵循Barwise的體係。
在這個表係統中，所有的結果都證明瞭原來的V邏輯模型存在性定理、V完全性定理與省略型定理，也可以證明。
此外，我們還可以應用確定性技術來證明以下定理：
定理1。
設Γ⊢N在V邏輯中，V是一個證明。
這個證明也是公開的遊戲則它的確定性在ZF
C的模型之間是絕對的。
這種V邏輯的“遊戲化”在一個
集合論的多元宇宙概念。
特彆是，這可能是一個優勢有助於V邏輯多元宇宙的構建。
參考文獻
Arrigoni，T和SFriedman（2013）。“超宇宙計劃”。
在：公告
符號邏輯191，第7796頁。
Barwise，Jon（1969）。
“無窮邏輯與可容許集”。
在：The
Journal
of
符號邏輯342，第226–252頁。
（1975年）。
可容許集合和結構。
施普林格，柏林。
Dickmann，Maximo
Alejandro（1975）。
大型不定式語言：模型理論。
紐約，紐約。
Keisler，H
Jerome（1971）。
無限邏輯的模型理論。
北荷蘭，阿姆斯特丹。
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